集合論(九)：函數(Function) (未完成)

 
• 重溫縮寫：
• xX [ φ(x) ]x[ (xX)φ(x) ]。
• xX[ φ(x) ]x[ (xX)→φ(x) ]。
由此得到：
• (xX [ φ(x) ] )xX[ φ(x) ]。
• (xX[ φ(x) ] )xX [ φ(x) ]。
證明：
• (xX [ φ(x) ] )(x[ (xX)φ(x) ] )

x[ (xX)φ(x) ]
x[ (xX)φ(x) ]
x[ (xX) →φ(x) ]
xX[ φ(x) ]。
• 略去證明：(xX[ φ(x) ] )xX [ φ(x) ]。

 
• 定義：從X到Y的一個函數(function)或者映射(mapping)，記為f：X →Y是一個由X到Y的一個關係G而且滿足以下的有定義條件：
• 即對於X的任一個元素x，則在集合Y中只存在唯一一個y使得(x, y)G。
• 　xX [! yY ( (x, y)G ) ]。

註：公式!x φ(x)代表公式x (φ(x)y(φ(y)→y=x ) )的縮寫
它的意思是：“唯一存在具有性質φ的x”。
• 符號：
• 稱關係G為函數f的圖及由於唯一性，所以不妨記y=f(x)。如在微積分等課程中，稱x為自變量。

有時也稱x為輸入，y=f(x)稱為函數f的輸出。
• 當X、Y是明確時，有時亦用

f：X→Y　　　　例：X=Y=整數集合。
　x |→y。　　　　f：Z→Z　　　n|→n²+1。
 
• 註釋：
• 換句說話，要定義一個函數，最重要的一步是在卡氏積X×Y上定義它的圖G，正如普通的xy平面，在集合X中的任意一點x上，圖G只能有一個點(x, f(x) )。
• 所以一個函數f：X →Y的完整定義是一個三元組所組成：(X, Y, G)。一般地，常把函數f：X →Y的圖G略去不提，改用不同的符號f來代替。
• 兩個函數f：X →Y及g：A →B視為相同如果以下的條件相同：
1. A=X；
2. f的圖=g的圖，這個相等是指作為X×Y中集合的相等。
由此，兩個函數f：X →Y及g：A=X →B稱為相同(的函數，就是指f與g有相同的定義域及它們的兩個圖相同(即有相同的元素)。
所以對於任意一個x，皆有f(x)=g(x)。特別地，有以下的刻劃：
即(f、g：X →Y)是相同xX[ f(x) =g(x)]。
• 定理：如果f、g：X→Y為函數，函數f、g相等當且僅當對X的任意元素x，有f(x)=g(x)。

證明：已知函數f、g的定義域相同，所以有
函數f、g相等
函數f、g的圖相等
G(f) = G( g )      因為dom G(f)=dom G(g)= X
(x, y)X×Y[ (x, y ) G(f)  (x, y ) G( g )  ]
xXyY[ (x, y ) G(f)  (x, y ) G( g )  ]    因為 (x, y ) G(f)y=f(x)。
xX[ (x, f(x) ) = (x, g(x) )  ]
xX[ f( x )=g( x ) ]。
• 相反地，兩個函數f：X →Y及g：X →Y稱為不相同(的函數)，就是指f與g的圖不相等。特別地存在某個X的元素x，使得f(x)≠g(x)。有以下的刻劃：
即(f、g：X →Y)是不相同xX[ f(x) ≠g(x)]。
• 例子：唯一性是非常重要的要求。
• 唯一性不會把在單位圓的圖形G={(x, y) R² | x²+y²=1 }看作一個函數的圖形。因為 (0, 1) 及(0, -1)皆在這個圖形中。
• 可能有人會改寫方程x²+y²=1為y = +√(1-x²)或者-√(1-x²)的等式，那樣看似是函數。當然，可以這兩個式子可分別定義兩個函數，如f(x) = +√(1-x²)、g(x)=-√(1-x²)。但要注意，而且由於f(0)≠g(0)，所以它們是不相同的函數。所以這個表示式也不是唯一。在X×Y中一般的子集不一定是某個函數的圖形。

相反地，一個函數就可以給出一個X×Y中的一個特殊子集。
• 定義：設f：X→Y是一個映射，稱X為映射f的定義域。

定義Y的子集如下：
f[X]={ yY | x X 使得f(x)=y }，稱為X在f下的像(或值域)。間接地，X在f下的像就是要把f的圖G的所有有序(兩元)對的第二個元素撕下來，放在一起。
明顯地，f[X]是Y的子集。這個方括號是為了分別值f(a)的誤解。
 
• 定義：作為一個推廣，若A是X的任一個子集，類似地定義：f [A]={ yY | x A 使得f(x)=y }，稱為A在f下的像。特別地，有以下的刻劃：
• 設AX為任意的子集，

yf[ A ] x (xAf(x)=y )。
• 性質：
• f[A]是Y的子集；
• 為了方便，把右式簡記為yf[A]  xA( f(x)=y )。
• 特別地當A=時，現證明：左方的命題�痚瓷A即

　　x( f(x)=y ) x[(x)( f(x)=y )]
　x[假( f(x)=y )] x[假]假。因此有f[]=。
• 定義：設B是Y的任一個子集，定義：f^-1[B]={ xX | f(x) B }，稱為B在f的原像。

有以下的刻劃：
設BY為任意的子集，xf^-1[ B ]  f(x)B。
• 註：其實數學很多的證明步驟，就是要找出f [A]、f^-1[B]的實際描述。
• 例：試求函數f(x)=x/(1+x²)的極值其中-1≦x≦1。
• 這題目中所出現的函數f(x) =x/(1+x²)，其實可代入任何的實數x於式子x/(1+x²)，所以函數的定義域可以推廣到整個實數集合R上。
• 改用集合論符號：設R為實數集合，f：[0,1]→R如上。這個問題就是要找出實數集合R的閉區間A=[-1, 1]在f下的像f [A]。
• f[A]仍是實數的子集，如何表示這個集合f[A]正是問題的關�予狾b。

由於f是連續函數，利用中值定理，得知f[A]是個閉區間。
• 已知函數f在[-1,1]上是遞增。

可以用導數方數或用初等方法直接考慮f(x)-f(y)=(x-y)h(x,y)，其中h(x,y)是正值。
• 註：閉區間已是一種有關f[A]性質的重要一環。)

剩下來是要找出這個閉區間的兩個端點，它們正是所求的極值。
• 註：集合論並未能在這兩步中，給出任何的幫助、或者公工具。但它只是提供了符號的方便，減少了文字的運用。
• 例題：(i) 設f：X→Y為函數，及A、BX。證明：f[A∩B]f[A]∩f[B]。

(ii) 並試舉出一個反例使得左右兩個集合不相同。
證：(i)　yf[A∩B]
x[ ( xA∩B)( y=f(x) )]
x[ [( xA)(xB)]( y=f(x) )]
x[ [( xA)( y=f(x)　 )][(xB)( y=f(x))] ]
→x [( xA)( y=f(x)　 )]x[(xB)( y=f(x))]　
[yf(A)][yf(B) ]
yf[A]∩f[B]。即f[A∩B]f[A]∩f[B]。
(ii) 現在給出一個例子來表示這個包含是真的：
• 設f：{0, 1}→{ 1}，即f(0)=f(1)=1。
• 設A={1}、B={0}使得A∩B=，因此f[A∩B]=f[]=。
• f[A]=f[B]={1}。所以f[A]∩f[B]={1}。
註：以上的反例是由於觀察：在(i)的證明中有一個是單向的蘊含。
舉個例子：課室內有某個人他是美男仔，也是美女；則由此可推斷出：
• 課室內有某個人是美男仔；
• 課室內有某個人是美女。
反之不成立，即使這兩命題，亦不能判定原命題成立。
 
• 定義：設f：X→Y為映射
• 稱映射f：X→Y為單射當且僅當它滿足以下條件：
• 如果f(x₁)=f(x₂)，則x₁=x₂。

即( f(x₁)=f(x₂) → x₁=x₂)。
• 由假言易位，可等價改寫為：

如果x₁≠x₂，則f(x₁)≠f(x₂)，
即( x₁≠x₂ → f(x₁)≠f(x₂) )。
• 稱映射f：X→Y為滿射當且僅當它滿足以下條件：

對於Y的任一元素y，存在X中某個元素x使得f(x)=y。
即 yY xX [f(x)=y]。
已知
　　f是滿射
　yY xX [f(x)=y]
　yY[ yf[X] ]
　y[yY→yf[X]]
　[Yf[X]]
　[Yf[X]][f[X]Y]　　後者必成立；
　Y=f[X]
因此滿射的條件等價於f[X]=Y。
• 稱映射f：X→Y為雙射當且僅當它是單射且滿射。
• 設X=Y=R為實數集信，證明常值函數k：X→Y不是單射、且也不是滿射。即對於任意的實數x，有k(x)=c，其中c是固定的實數。

證：
• (非單射)取實數1=x₁≠x₂=2，則f(x₁)=c=f(x₂)，因此f不是單射。
• (非滿射)由f的定義，得知f[X]={c}。明顯地c+1≠c，所以c+1Y＼f[X]，因此f[X]≠Y。
註：
• f不是單射

(f是單射)
[x_1、x₂X( x₁≠x₂ → f(x₁)≠f(x₂) )]
x_1、x₂X[( x₁≠x₂)( f(x₁)=f(x₂) )]。
• f不是滿射(f是滿射)

[yY[xX [f(x)=y] ]]
[yY[yf[X]]]
yY[yf[X]]
y[(yY)[yf[X]]]
y[yY\f[X]]    這等價式是最重要的。
Y\f[X]≠   已知f[X]Y，故f[X]\Y=；
Y△f[X]≠
Y≠f[X]。
• (例子)設R=X=Y為實數集合，定義映射f：X→Y如下：

對任意實數x，有f(x)=mx+c，其中m、c是固定的常數。
求證：若m≠0，則f是單射，也是滿射。
證：
• 單射：如果f(x₁)=f(x₂)，即mx₁+c=mx₂+c，消去c後有m(x₁-x₂)=0。如果m≠0，可以乘m的逆，得x₁-x₂=0，即x₁=x₂。因此f是單射。

註：有時可以用反證法(即第二個等價條件)來證明函數是單射。
• 滿射：對於任意一個bY，即b是任意一個實數，令a=(b-c)/m。由於m不為零，故a是個實數(即aX)，且滿足：f(a)=m(b-c)/m+c=(b-c)+c=b。

以上的x=a是方程f(x)=b的一個解。由於f是單射，故x=a是方程f(x)=b的唯一實數解。
註：其實在這個例子，可以證明：f是單射當且僅當f是滿射。
(例子)設R=X=Y為實數集合，定義映射g：X→Y如下：
對任意實數x，有g(x)=x²+x+1。問：g是否滿射？
答案：否定。
解：對任意實數x，有g(x)=x²+x+1=(x+1/2)²+3/4≧3/4；所以yg[X]xX [y=g(x)]→xX [y≧3/4]→y≧3/4。故g[X]是閉區間[3/4,+∞)的子集，即g[X][3/4,+∞)。
到此為至，已知g[X]是Y=R的真子集，所以g不是滿射。
註：
• 其實可證明：[3/4,+∞)=g[X]。

對任意實數b[3/4,+∞)，即b≧3/4。令a= +√(b-3/4)，這仍是個實數，特別地aX，而且a滿足f(a)=b。即bf[X]。
• 如果把Y改換為另一個子集，則可以改變滿射的性質。即定義f:X→Z=[3/4,+∞)如上f(x)=x²+x+1，則這時f[X]=Z。
• 在堂上有學生提問「f:X→W=(3/4,+∞)」是否可行？

如果f(x)=x²+x+1，且X=R如上；這時f(-1/2)=3/4W，因此(-1/2,3/4)XxW，所以f：X→W根本不是一個含法的映射。
• (家課)設f：X→Y為映射，A、B為X的兩個子集。求證：

f[A∪B]=f[A]∪f[B]。
 
 
• 設X為實數軸上的閉區間[0,1]，設0<a<b<1為固定的兩個實數。定義函數f:X→X如下：

f(x)=

{

x+1-a -x+1 x-b

當

x[0,a]； x(a,b)； x[b,1]。

求證：f是雙射。  提示：可以劃出函數f的圖。
解：
• (滿射)令X₁=[0,a]、X₂=(a,b)、X₃=[b,1]。可以直接如以上的例子證明：f[X₁]=[1-a,1]；f[X₂]=(1-b,1-a)；f[X₁]=[0,1-b]，以上三個集合在f下的像兩兩不相交。然後運用以上函數像的性質：

f[X]=f[[0,1]]=f[X₁∪X₂∪X₃]=f[X₁]∪f[X₂]∪f[X₃]
=[1-a,1]∪(1-b,1-a)∪[0,1-b]=[0,1]=X。
• (單射)已知f在區間X₁、X₂、X₃上分別是嚴格單調。

如果x₁≠x₂，有兩個可能：
• x₁、x₂同在某個X₁(i=1,2,3)，則由於f在X₁上是嚴格單調，則f(x₁)≠f(x₂)；
• x₁、x₂同在X_i(i=1,2,3)中不同的兩個子區間內，則由於f[X₁]、f[X₂]、f[X₃]兩兩不相交，則f(x₁)≠f(x₂)。
註：設X為實數集合R的子集；
• 稱定義在X上的函數f：X→R為嚴格遞增[遞減]，如果對任意的實數x₁、x₂X，且x₁>x₂則有f(x₁)>f(x₂) [f(x₁)<f(x₂)]。
• 稱定義在X上的函數f：X→R為嚴格單調，如果f在X上是嚴格遞增，或者嚴格遞增。
• 家課：函數f:[0,1]→[0,1]如上。
1. 試求閉區間[a,b]在f的原像f^-1[[a,b]]。
2. 試計算f(f(a/2))的可能值。

提示：答案有多個可能；考慮a、b的大小值。
• 原像的例子：
• 複合函數：
• 逆函數
• 雙射的重要性：