重覆：有序對公理
已知a、b為集合，存在一個集合僅以a、b為元素。為此把這個集合記為{a, b}，稱為a與b的無序對。

介紹新的集合論公理：冪集公理Sx ( xA→ xS )。
假設A為集合，則由A的所有子集，可以組成一個新的集合，稱為A的冪集，記為P(A)。因此有以下的刻劃：xP(A)xA。

例子：

• 由於空集僅有一個子集，所以P()，其實P()={}。
• 類似地，A={1}，則A只有兩個子集、A={1}。所以P( {1} )={, {1} }共有二個元素。
• 類似地，A={ 1, 2 }，則A只有兩個子集、{1}、{2}、A={1, 2}。所以P( {1, 2} )={, {1}, {2} , {1, 2} }共有四個元素。
• 一般地，P({ x₁, x₂, ...., x_n})有2個元素，換句話說n(個不同的)元集合的不同子集總數為2ⁿ。

證一：可以把{ x₁, x₂, ...., x_n})的子集看成一個表有n個空格□□□.....□，每個空格可以填入“x”或“v”兩個可能，如果在第k個空格填入“v”，代表這個子集包含了第k個元素；否則第k個元素不會在這個子集中出現。
不同的子集一一對應於不同的表格。由於每個空格有兩種方法填入，而且兩個格互相不影響，所以有2 x 2 x ... x 2 (共n個) =2ⁿ。
證二：僅有集合A中之k 個元素的集合總共有_nC_k，其中0 ≦k ≦n。疊加起來，便有Σ_{1≦k≦n　 n}C_k=(1+1)ⁿ=2ⁿ。

• 已知a、b為分別集合A、B的任一個元素，
• 由無序對公理，{a, a}、{a, b}為集合，
• 再由無序對公理，{ {a, a}, {a, b} }也是個集合，稱為a、b的有序對，並記(a, b)。
• 此外有序對的一個重要性質是

(a, b) =(x, y)當且慬當(a=x)及(b=y)。
註： 其實要有這個性質，可以改用其他的方法來定義有序對(a, b)。

• 已知aA、bB，所以a、bA∪B；
• 由子集的記號，有{a, b}、 {a, a}A∪B；
• 由冪集的記號，有{a, a}、{a, b}P(A∪B)；
• 由子集的記號，有(a, b)={{a, a}、{a, b}}P(A∪B)；
• 由冪集的記號，有(a, b)={{a, a}、{a, b}}P(P(A∪B))。
• 因此當a、b分別走遍集合A、B中之各個元素，有序對(a, b)只是一個固定集合P(P(A∪B))中的元素。
• 最後可以運用內涵公理，在集合P(P(A∪B))中定義一個僅包含這些有序對的子集。

• 由卡氏積的定義，得知(a, b)A×B(aA)(bB)。
• 證明：A×B=當且僅當(A=)(B=)。

證：現在證明：A×B≠當且僅當(A≠)(B≠)。
A×B≠
x (xA×B) ，此時x=(a, b)其中(aA)(bB)。
ab( (a, b)A×B)　 )
ab( (aA)(bB) )
a(aA)b( bB)
(A≠)(B≠)。
由等價否定等值式，有以下結果，A×B=當且僅當(A=)(B=)。

• 卡氏積是個非常有用的數學公具，從它出發，可以定義很多有用的數學概念，如函數、n維向量線性空間、二元運算等....。