P：a≦5。
P：e > 7。
(b≦3)。
q。
P：(pq)
(p)
(q)。在文字上，P：(b<0)(b>3)。
(a=-b)。如上題，
P：(a≠b)(a≠-b)。
x
A
[P(x)] 代表 x[
(xA)→P(x) ]。
xA
[P(x)] 代表 x[
(xA) P(x)
]。
加入新的邏輯等價式：
(PQ)(P)(Q)；
(PQ)(P)(Q)。
x[ P(x)Q(x)
]
[x P(x) ][x
Q(x) ]。x P(x) ][x
Q(x) ] →x[ P(x)Q(x)
]。注意：不是等價式。x[ P(x)Q(x)
]
[x P(x) ][x
Q(x) ]。x[ P(x)Q(x)
] → [x P(x) ][x
Q(x) ]。注意：不是等價式。[x
P(x)]x
[P(x) ]。[x
P(x)]x
[P(x) ]。x [P(x)Q]x
[P(x) ]Q，其中謂詞Q與變元x無關。x [P(x)Q]x
[P(x) ]Q，其中謂詞Q與變元x無關。y(y+4≦0)。
P：y(
y+4 >0)，解作存在某個實數y使得y+4>0。
x(
x >0)。
P：x(
x≦0)，解作所有的x都是負數。
P：圓C1、C2的交點之總數>2。
P：圓C1、C2的交點之總數≧3。
P：在a、b、c、d四數中，小於0的數<1。
P：在a、b、c、d四數中，全部都是非負數(大於0或等於0)。
x[
x{a, b, c, d}(x<0)
]。
P：x[(x{a,
b, c, d} )(x≧0)
] 。
x[
(x{a, b, c, d} )→(x≧0)
] 。
x[
(x{a, b, c, d} )→(x≧0)
] 改寫為
x{a,
b, c, d}[(x≧0)]。(b=c).....(a=d)。
[(a=b)(b=c).....(a=d)](a≠b)(b≠c)...(a≠d)。
x
( xA)。
(A=)
(x(xAx)
)
x(xAx)
x[
(xA→x)
( x→xA
) ]
x[
(xA→x)
( 假→xA
) ]
x[
(xA→x)
(真) ]
x[
(xA→x)
]
x[(xA)(x)]
x[(xA)(假)]
x[(xA)]
x[
xA]。
。 。
。
(x(xAxB)
)
x[
(xA→xB
)
( xB→xA
) ]
x[
((
xA)(
xB) )
(( xB)(
xA)
) ]
x[((
xA)(
xB) )((xB)(
xA)
) ]
x[((xA)(xB)
)((xB)(xA)
) ]
x[((
xA)(
xB) )((xB)(
xA)
) ]
x[(
xA \ B )(
xB
\ A ) ]
x[(
x(A \ B)∪(B \ A)
) ]
(A
\ B)∪(B \ A)≠。
利用等價否定等值式： ( PQ
) (QP
)。
得到以下的命題
。
此外，給出任意兩個集合A、B，可用溫氏圖表示不同的可能：
集合A、B有公共元素。
A是B的子集。
B是A的子集。
兩集合A、B沒有公共元素。
集合A=B。
練習：
對各種集合A、B的情形，分別考慮A\B、B\A、A與B的對稱差AΔB是否空集。
再考慮：A
B、BA、A
B、BA。
及不包含關係。B)x
( (xA→xB))。
B在集含形式語言中的真正意義。
B
[x
( (xA→xB)
)]
[x
( (xA)(xB)
)]
x[
( (xA)(xB)
)]
x[
( (xA)
)((xB)
) ]
x[(xA)((xB)
) ]
x[
xA \ B]
A \ B≠。
B及AC，則BC。C
x[
xA \ C]
x[(xA)((xC)
) ]
x[(xB)((xC)
) ]
x[(xB\C)
]
C。
證(二)：首先用一些記號來簡化，用p、q、r分別代表AB、BC、AC。
原命題p(r)→(q)。它是邏輯等價於pq→r。
這等價性可以由真值表檢查得來。以下有另一個方法證明這等價性。
所以只需要證明命題：若AB及BC，則AC。
xA
→xB 由於已知條件：AB
→xC 由於已合條件：BC
因此有AC。
註：
的的真正定義。這個定義可能不容易敘述出來。q→r)(
p(r)→(q)
)
。q→r)
(pq
)r
[(p)(q
)]r
[(p)(q
)](r)
(r)[(p)(q
)]
[(r)(p
)](q)
[(r)(p
)](q)
[(r)(p
)]→(q)
[(p
) (r)]→(q)
，則B∩C≠。
x[xA∩C]
x[(xA)(xC)]
x[(xA∩B)(xC)]
x[(
(xA)(xB)
)(xC)]
x[
(xA)(
(xB) )(xC)
)]
x[
(xA)(
xB∩C )]
q→q →x[(
xB∩C
)]
B∩C≠。
因此有：(A∩B=A)(A∩C≠)→(B∩C≠)。
C，且BD，則A∪BC∪D及A∩BC∩D。