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以下是一個定理的證明,請在直線上填入適當的理由或定理:
若A、B是兩個集合,證明:A∩(B \ A)=。
證: xA∩(B
\ A)
交集定義 (xA)(xBxA)
交換律 (xA)(xAxB)
結合律 (xAxA)xB
空集等價定義 (x)xB
空集等價定義 (xBxB)xB
交換律 xB(xBxB) 交換律
結合律 (xBxB)xB) 結合律
等冪律 xBxB
空集等價定義 x
註:
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在證明中,空集的定義:x(xXxX),其中X可以是A或者B。
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雖然xB
可以寫為xB,但在未熟習時,最好還是寫成(xB
)。
注意以下的例子:
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交集定義 xA∩B(xA)(xB)
。
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x(A∩B)
符號定義 (x(AB))
交集定義 (
(xA)(xB)
)
德摩根律 (
xA)(
xB
)
符號定義 (
xA)(
xB
)。
留意兩個公式之間的合取和析取符號之分別。
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證明:設A、B為集合,求證:
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A∩BA 及A∩BB
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AA∪B 及 BA∪B。
證:(i) xA∩B(xA)(xB)→(xA);即A∩BA;
類似地,xA∩B(xA)(xB)→(xB);即A∩BB。
(ii) xA→(xA)(xB)xA∪B;即AA∪B
類似地,xB→(xA)(xB)xA∪B;及
BA∪B。
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設A、B為集合,求證:若AB,則A
\ B=。反之亦然。
證:要證明:AB(A
\ B=)。
分兩部份:
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定理:(a, b) = (c, d)當且僅當a=c
b=d。
證:假設a=c及 b=d:則有集合{a}={c}及{a,
b} ={c, d}相等。
{ {a}, {a,b} }={ {c}, {c, d} },即(a, b) = (c, d)。
相反地,假設(a, b) = (c, d),則{ {a}, {a, b} }={ {c}, {c, d} },有兩個可能:
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假設a≠b:則{c}≠{a, b}(否則的話有a=b=c,這與假設矛盾)。
應用外延公理於{c}{
{c}, {c, d} }={ {a}, {a, b} }及由於{c}≠{a, b},得{a}={c},再由外延公理得a=c。
接著將c用a代換後,並應用外延公理於{a , b}{
{a}, {a, b} }={ {a}, {a, d} }及由於{a}≠{a, b},得{a, b}={a, d}。再用外延公理d{a,
b}及a≠b,得知d=b。
所以有a=c及時b=d。
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假設a=b,這時{ {c}, {c, d} }={ {a}, {a, b} }={ {a}, {a, a} }={ {a} }。
由延外公理,得知{c}={c, d} ={a}。再由外延公理,得知a=c=d。
由此,得知a=c及b=d。
總結地,有a=c b=d。
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併集公理:Sxy(
xyya→
xS
)。
對已知集合a,存在著集合s,凡是a的元素的元素都是s的成員。
記S=∪a,稱為a的併集。
時常記A∪B=∪{ A , B } 及A1∪A2∪ ....∪An={A1,
A2, ...., An}。
xA∪B(
xA)(
xB
),
x∪ay
( yaxy)
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例:∪{ {a , b}, {c} }={a , b , c}。∪{a}=a。
∪(a, b)=∪{ {a},
{a , b} }={a, b}。