B，這公式只含有一個變元x。由內涵公理，得知存在一個集合{x
A
| xB }或者{
x | xA 
xB }。這是A的一個子集，稱為B在A中的餘集(補集)，有時也稱為A和B的差，常為A
\ B 或 A - B。由定義出發，得知：xA
\ B 
(xA) (
xB )。一般地，A \B ≠B\ A。
- 證明 ：“A \ B=B \ A”不一定成立。並決定集合A\B、B\A皆是個空集的充要條件。
- 證明：A \ B=B \ A當且僅當A=B。
定義(有序對)：設a、b為集合，利用無序對公理，分別存在集兩個合{a, a}={a}、{a, b}。再一次利用無序義公理，存在集合{ {a}, {a , b} }稱為a、b的有序對，記作(a , b)。對於有序對，有以下的重要定理：
b=d。證：假設a=c及 b=d：則有集合{a}={c}及{a, b} ={c, d}相等。
{ {a}, {a,b} }={ {c}, {c, d} }，即(a, b) = (c, d)。
相反地，假設(a, b) = (c, d)，則{ {a}, {a, b} }={ {c}, {c, d} }，有兩個可能：
- 假設a≠b：則{c}≠{a, b}(否則的話有a=b=c，這與假設矛盾)。
- 假設a=b，這時{ {c}, {c, d} }={ {a}, {a, b} }={ {a}, {a, a} }={ {a} }。
應用外延公理於{c}
{
{c}, {c, d} }={ {a}, {a, b} }及由於{c}≠{a, b}，得{a}={c}，再由外延公理得a=c。
接著將c用a代換後，並應用外延公理於{a , b}
{
{a}, {a, b} }={ {a}, {a, d} }及由於{a}≠{a, b}，得{a, b}={a, d}。再用外延公理d{a,
b}及a≠b，得知d=b。
所以有a=c及時b=d。
由延外公理，得知{c}={c, d} ={a}。再由外延公理，得知a=c=d。
由此，得知a=c及b=d。
b=d。
註：有序對是個非常有用的概念，以上的定理將第一個集合(元素)和第二個集合(元素)分開。例如：(1
, 2) ≠(2, 1)。
併集公理：
S
xy(
xyya→
xS )。
對已知集合a，存在著集合s，凡是a的元素的元素都是s的成員。
記S=∪a，稱為a的併集。
時常記A∪B=∪{ A , B } 及A1∪A2∪ ....∪An={A1, A2, ...., An}。
x
A∪B(
xA)
(
xB )，
x
∪ay
( yaxy)
特別地對於A1∪A2∪ ....∪An，利用滿足結合律，有以下的劃刻方法：
xA1∪A2∪
....∪An( xA1)(
xA2 ) ....(
xAn)。
∪(a, b)=∪{ {a}, {a , b} }={a, b}。
。
x
A 及A∩B