初等集合論的基本運算：交集
重溫：
定義(空集)：取φ(x)：x≠x，這公式只含有一個變元。任取一個集合S，由內涵公理，得知存在一個集合{xS |  x≠x }或者{ x | xS  x≠x }，這是S的一個子集，稱為空集，記為。
 

定理一：空集是任何一個集合A的子集，即x ( x→ xA )。
證：　　　　　　x
空集的定義　　→ xSx≠x　
( pq→p)　　→ x≠x 　
(恒假命題)　　→ (假)　
 (假→p)真　→xA 。

註：其實從以上命題的證明，得知 x((xS)(xS)) 。
這是因為x xSx≠xxS(假)(假)，
而由矛盾律，得知(xS)(xS)(假)。因此有x((xS)(xS)) 。
 

定理二：不存在把一切集合作為自已元素的集，即(S)Y( YS)。
證：(反證法)假設存在一個集合S滿足以下的條件：
任何一個集合Y是S的元集，即Y( YS)。
取φ(x)：xx，這公式只含有一個變元，由內涵公理，得知存在一個集合
B={x S |  xx }是S的一個子集。觀察：

  1. 由於B是一個集合，及由S的條件，得知BS。
  2. 由於(i)，考慮以下的兩個可能性： BB或者BB，必有其中一個及僅有一個成立。
    3. 無論那個情況，都得到矛盾，所以以上的假設不能成立。
    結論：不存在把一切集合作為自已元素的集。
引入新的ZF公理：
  • 無序對公理：S ( aS bS )。

    • 解作，給出任意兩個集合a、b，可以組成一個集合{a , b}。
    特別地，套用日常的用語： 註：
    初等集合論的基本題目 留待下堂：