-
定義：y
f[A]
xA
[ f(x) =y]； -
定義：xf-1[B]
f(x)B；
- 定理： f(∪j在IAj) = ∪j在I(f[Aj]) )；
- 定理： f -1(∪j在IBj) = ∪j在I(f -1[Bj]) )。
- 映射f是單射；
- 對於X的任一個子集A，有f -1[ f[A] ]=A；
- 對於X的任意兩個子集A、B，有f[A∩B]=f[A]∩f[B]；
-
對於X的任意兩個子集A、B且A∩B=
，有f[A]∩f[B]=； -
對於X的任意兩個子集A、B且B
A，有f[A
\ B]=f[A] \f[B]。
(b)，及(a)→(c)→(d)→(e)→(a)。
(a) => (b)：假設f是單射，
- y
f
-1[
f({x})]
yf
-1[
{ f(x) }]
f(y){
f(x) }
f(x)=f(y)
x=y，而後者成立由於f是單射。
所以 f -1[ f({x})]={x}，對於X的任意元素x。
已知A=∪x在A{x}，所以有
f -1[ f(A) ]=f -1[ f(∪x在A{x}) ]=f -1[ ∪x在Af({x}) ]
=∪x在Af -1[ f({x}) ]=∪x在A{x}=A。
- 選取A={a}，則f[A]=f[{a}]={f(a)}，因此{a}=A=f -1[ f[A] ]=
f -1[ {f(a)} ]。
但由於f(b)=f(a)，所以b
f
-1[
{ f(a) }]=f
-1[
f[A]]={a}。但這與a≠b有矛盾。
因此f只能是單射。
- y
f(A)∩f(B)
yf(A)
yf(B)
aA(
f(a)=y )bB(
f(b)=y )
a[
(aA)
(f(a)=y )]b[
(bB)(
f(b)=y ) ]
ab[
[ (aA)
(f(a)=y )][
(bB)(
f(b)=y ) ] ]
ab[
[ (aA)
(f(a)=y )][
(bB)(
f(b)=y ) ](
f(a)=f(b) ) ]
ab[
[ (aA)
(f(a)=y )][
(bB)(
f(b)=y ) ](
a=b)
]
(因f是單射)
x[
[ (xA)
(f(x)=y )][
(xB)(
f(x)=y ) ] ]
x[
[ (xA)(xB)
](f(x)=y)
]
x[
[ (xA∩B) (f(x)=y)
]
yf(A∩B)。，則f(A)∩f(B)=f(A∩B)=f()=。
(d) => (e)：對於X的任意兩個子集A、B且BA，已知有B∩(A\B)=，所以有
-
f(B)∩f(A\B)=f(B∩(A\B))=f()=；
- f(B)∪f(A\B)=f(B∪(A\B))=f(A)；
因此有f[A \ B]=f[A] \f[B]。
-
選取A={a, b}，B={b}。於是A \ B ={a}，因此f[ A \ B ]≠。
-
另一方面，f[A]={ f(a), f(b)}={f(b)} = f[B]，因此有f[ A ]\f[ B ]=。這與條件(e)矛盾。