單射、滿射、雙射
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定義：稱映射f：X→Y為單射若它滿足以下條件：如果f(x1)=f(x2)，則x1=x2。
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用形式語言改寫為：
x1，x2
X[
(
f(x1)=f(x2)
)→(x1=x2)]。
利用假言易位，得到等價的條年：x1，x2X[(x1≠x2)→(
f(x1)≠f(x2) )]。
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所以f：X→Y不是單射若
x1，x2X[
[(x1≠x2)→(
f(x1)≠f(x2) )]]。
x1，x2X[[(x1≠x2)
(
f(x1)≠f(x2) )]]。
x1，x2X[
(x1≠x2)
(
f(x1)≠f(x2) )]
x1，x2X[
(x1≠x2)(
f(x1)=f(x2) )]。
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定義：稱映射f：X→Y為滿射當且僅當它滿足以下條件：對於Y的任一元素y，存在X中某個元素x使得f(x)=y。
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用形式語言改寫為：yY(xX
[
f(x)=y ] )。
yY(xX
[
f(x)=y ] )
yY(yf[X])
y[(yY)→(yf[X])]
Y
f[X]
(Yf[X])(f[X]Y)
Y=f[X]。
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因此f：X→Y不是滿射如Y
f[X]，即者簡單些Y≠f[X]。
特別地，有以下的等價條件：
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定義：稱映射f：X→Y為雙射當且僅當它是單射且滿射。
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(滿射的例子) 設R為實數集，試考慮函數f：R→R，定義如下f(x)=x3+x+1。
求證：f是滿射。
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要證明f是滿射，根據滿射定義，即對於任意的實數c，要找出某一個實數x使得f(x)=c。一般地，這樣的x(如果存在)不一定是唯一。
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求出(三次)方程x3+x+1=c的其中一個實根，即x3+x+1-c=0。
根據以下的定理：任意奇次實係數的多項式至小有一個實根。
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(單射的例子) 設R為實數集，假設函數f、g：R→R滿足下列 條件：
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對於任意的實數x有 f( g(x) ) = x+1。
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g是滿射；
求證：f、g是單射。
證：分兩步進行：
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假設g(x1)=g(x2)，求證x1=x2。
由條件(i)及假設，得知x1+1=f( g(x1)
)=f(
g(x2)
)=x2+1，所以有x1=x2。
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假設f(y1)=f(y2)，求證y1=y2。
由條件(ii)g是滿射，所以存在實數xi使得g(xi)=yi，因此有
得知x1+1=f( g(x1)
)=f(y1)=f(y2)=f(
g(x2)
)=x2+1，所以有x1=x2。因此有y1=g(x1)=g(x2)=y2。
以下是一些未完成的筆記。
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定義：
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稱映射f：X→Y為單射若它滿足以下條件：如果f(x1)=f(x2)，則x1=x2。
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稱映射f：X→Y為滿射當且僅當它滿足以下條件：對於Y的任一元素y，存在X中某個元素x使得f(x)=y。
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稱映射f：X→Y為雙射當且僅當它是單射且滿射。
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(雙射的例子)：記R為實數集。設m為非零實數，定義函數f：R→R如下f(x)=mx+c。求證：f是雙射。
證：分兩步證明：
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單射：如果f(x1)=f(x2)，則由f的定義，有mx1+c=mx2+c，即m(x1-x2)=0；由於m≠0，得x1=x2。
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滿射：對於任意一個實數B，選取實數x=(B-c)/m，有f(x)=m[(B-c)/m]+c=B-c+c=B。
總結：BR[f((B-c)/m)=B]BR[Bf[R]]Rf[R]R=f[R]。
註：當m=0時，xR[f(x)=c]，即f是個常值函數，特別地有f(1)=f(0)=c，即f不是一個單射，因此也不是一個滿射。
逆映射
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現在假設函數f：X→Y是單射。
重申f[X]是X在f的像，它是Y的一個子集。定義一個從f[X]到Y的映射
g：f[X]→X如下 g(y) = x 如果f(x)=y。
注意兩點：
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由於yf[X]，所以存在某個x使得f(x)=y；
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由於f是單射，所以只有唯一一個x使得f(x)=y。
由以上的兩點，得知g的定義是可確認的。如果沒有單射的條件，g一般地不能這樣定義。例如
f：{1，2}→{0}，則f(1)=f(2)=0。這時，如何定義g(0)？
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現在假設函數f：X→Y是雙射，則有f[X]=Y，因此有剛定義的函數g：Y→X，且滿足：
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g。f：X→X是恒等映射，即xX[g。f(x)=x]；
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f。g：Y→Y是恒等映射，即yY[f。g(y)=y]。
證：對於任意xX、yY，有
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g。f(x)
=g( f(x) ) 函數的複合定義；
=x 由函數g的定義，如果記y=f(x)，則g(y)=x。
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f。g(y)
=f( g(y) ) 函數的複合定義；
=y 由函數g的定義，如果記x=g(y)，則f(x)=y。
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定義：設f：X→Y為雙射，如上的構作，得映射g：Y→X，稱為映射f的逆映射，記作f-1：Y→X。
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例(家課)：設R為實數集，已知m≠0，c為任意的實數。假設函數f、g：R→R滿足下列條件：
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對於任意的實數x、y有 f( g(x) ) = mx +c。
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f：R→R是單射。
證明f、g是雙射。
證：分幾步：
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g是單射：假設g(x1)=g(x2)，求證x1=x2。
由條件及假設，得知mx1+c=f( g(x1)
)=f(
g(x2)
)=mx2+c，所以有x1=x2。
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g是滿射：
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yR，設x=(f(y)-c)/m，則
f( g(x) ) =f。g(x)= m(x)+c=f(y)。
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再由f是單射，所以g(x)=y。
所以g是雙射，特別地g-1：R→R存在。
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f是滿射：
zR，試找出b使得f(b)=z。
設x=(z-c)/m，及b=g(x)，則 f( b ) =f( g(x) )= m(x)+c=z。
註：
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試證明：在條件(i)下，f：R→R是單射g：R→R是滿射。
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試構作一例子滿足條件(i)對這問題的結論不是充分。
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例：設R為實數集合，sin : R→R是正弦函數。
由於sin(0)=sin(2π)=0，所以sin: R→R不是單射，因此sin沒有逆映射。
為了使sin是單射，唯一方法是縮細它的定義域，使得它是1對1的。
把sin 限制到閉區間X=[-π/2, π/2]上，記為 f=sin|X: X→R，使得f(x)=sin(x)。這樣f是個單射。
為了求得f的逆映射，首先要求f是滿射，為此，稱Y=f[X]=[-1，1]，並改寫以上的函數f為f=sin|X:
X→Y。本質上，這已改變映射f的定義，但實際上這個改變不是太大，所以仍把它用原來的符號f來代表。此時，f:
X→Y是雙射，所以它的逆映射f-1存在。這個函數常稱為反正弦函數，記為sin-1(x)。
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思考題：
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回憶在中學課程中，老師如何定義正弦(三角)函數，及反正弦(三角)函數。特別是sin(-30。)、及sin-1(-1/3)。
是否他/她常用圖來表示？
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到底以前的人如何計算正弦、反正弦的值？作圖、四位對數、計算機。
；
f[X]
)。