集合論(十)：映射的原像與像

• 重溫定義：設 f：X →Y為一映射，及AX及BY。定義
• f[A]={ f(x) | xA}，稱為A在f的像；
• f^-1[B]={xX | f(x)B}，稱為B在f的原像。
從以上的定義，得
• f[A]Y、f^-1[B]X；
• f[ ]=。
• f^-1[ ]=。
只證明最後的等式：xf^-1[ ]f(x)假。所以f^-1[ ]=。
 
• 所以有以下的重要刻劃：
• xf^-1[ B]f(x)B；
• yf[ A]xA[ f(x)=y]x[(xA)( f(x)=y)]。

 
• 定理一：設f：X→Y為一映射，A、B為X的子集，C、D為Y的子集。證明以下的等式：
1. f(A∪B)=f(A)∪f(B)；
2. f(A∩B)f(A)∩f(B)，並列出一個例子來表示這個包含是真的；
3. f ^-1(C∪D)=f ^-1(C)∪f ^-1(D)；
4. f ^-1(C∩D)=f ^-1(C)∩f ^-1(D)；
5. f ^-1(C \ D)=f ^-1(C) \f ^-1(D)；
6. f[ f ^-1(D) ]=D∩f[X]，特別地f[ f ^-1(D) ]D；
7. Af ^-1 [ f(A) ]，並列出一個例子來表示這個包含是真的。
證：
1. 　yf(A)∪f(B)

yf(A)yf(B)
x[ xAf(x)=y ]x[ xBf(x)=y ]
x [ (xAf(x)=y)(xBf(x)=y) ]
x [ (xAxB)f(x)=y) ]
x [ (xA∪B)f(x)=y ]　
yf(A∪B)。
註：有類似pq→p，的方法，可以證明：
• 如果ABX，則有f[A]f[B]f[X]。
• 如果CDY，則有f ^-1 [C]f ^-1 [D]f ^-1 [Y]。

 
2. 　yf(A∩B)

x[ ( xA∩B)( y=f(x) )]
x[ [( xA)(xB)]( y=f(x) )]
x[ [( xA)( y=f(x)　 )][(xB)( y=f(x))] ]
→x [( xA)( y=f(x)　 )]x[(xB)( y=f(x))]　(這是單向的)
[yf(A)][yf(B) ]
yf(A)∩f(B)。
即f(A∩B)f(A)∩f(B)。
現在給出一個例子來表示這個包含是真的：
• 設f：{0, 1}→{ 1}，即f(0)=f(1)=1。
• 設A={1}、B={0}使得A∩B=，因意f[A∩B]=。
• f[A]=f[B]={1}。

 
3. 　xf ^-1(C∪D)

f(x)C∪D
(f(x)C)(f(x)D)
[xf ^-1(C)][xf ^-1(D)]；
xf ^-1(C)∪f ^-1(D)。
 
4. 　xf ^-1(C∩D)

f(x)C∩D
(f(x)C)(f(x)D)
[xf ^-1(C)][xf ^-1(D)]；
xf ^-1(C)∩f ^-1(D)。
 
5. 　xf ^-1(C \ D)

f(x)C \ D
(f(x)C)(f(x)D)
[xf ^-1(C)][xf ^-1(D)]；
xf ^-1(C) \ f ^-1(D)。
 
6. 　yf[ f ^-1( D) ]

x[ (xX)( xf ^-1( D) )( y=f(x) )]　
x[ (xX)( f(x) D )( y=f(x) )]　
x[　 (xX)( f(x) D )( y=f(x) )( y D ) ]
x[　 (xX)( y=f(x) )( y D ) ]
x[　 (xX)( y=f(x) )]( y D )　
( yf[X] )( y D )　
yD∩f[X]。因此f[ f ^-1( D) ]=D∩f[X]。特別地f[ f ^-1(D) ]D。
 
 
7. 　xA→f(x)f[A]x　f ^-1 [ f(A) ]。即Af ^-1 [ f(A) ]。

現在給出一個例子來表示這個包含是真的：
• 設f：{0, 1}→{ 1}，即f(0)=f(1)=1。
• 設A={1}使得f[A]={f (1)}={1}。
• f ^-1 [ f(A) ]=f ^-1 [ {1} ]={0, 1}。

 
• 到底函數原像有何用途：

記R為實數集，設f：R→R為一個映射，及a為一實數。
重溫：稱函數f在點x=a上連續如果 lim_x→a f(x) = f(a)。
作為集合，怎樣能定義所需要的極限？
答：重申函數f在x=a的根極如下：
lim_x→a f(x)=Le>0 [ d >0 [x(a - d, a+d)\{a} [ | f(x) -L | < e ]  ]  ]。
• 已知| f(x) -L | < e

-e < f(x) -L < e
L -e < f(x) < L +e
f(x)(L-e,  L +e)
xf ^-1 [(L-e,  L +e)]。
• 所以有以下的等價式：

x(a - d, a+d)\{a} [ | f(x) -L | < e ]
x(a - d, a+d)\{a} [xf ^-1 [(L-e,  L +e)] ]
x[x(a - d, a+d)\{a}→ (xf ^-1 [(L-e,  L +e)] )]
[ (a- d, a+d)\{ a} f ^-1 [(L-e,  L +e)] ]
• 再由以上的定理(f)和(g)，可以推得等價式：

f[ (a- d, a+d)\{ a}] f[ f ^-1 [(L-e,  L +e)]  ](L-e, L+e)。
所以lim_x→a f(x)=Le>0 [ d >0 [  (a- d, a+d)\{ a} f ^-1 [(L-e,  L +e)] ] ]
e>0 [ d >0 [  f[ (a- d, a+d)\{ a}] (L-e,  L +e) ] ]。
• 類似地，再細心檢查後可以證明

lim_x→a f(x)=f(a)e>0 [ d >0 [  (a- d, a+d) f ^-1 [(f(a) -e,  f(a) +e)] ] ]。
e>0 [ d >0 [  f[ (a- d, a+d) ]( f(a) -e,  f(a) +e) ] ]。