集合，簡單地說，就是一堆東西的總體，其中每個東西稱為這個集合的一個元素。這樣的集合相念是素朴和直觀的、理解起來并不困難，但它不是嚴格的、精確的。
通過對具體集合的認識，和對集合性質的討論，可以使我們逐步加深對集合這個相念的理解。
例：將甚麼東西也沒有看作一種總體，這樣的集合稱為空集，符號記作
。更多的例子。
定義：如果a是A的元素，則稱a屬於A，記作a
A。如果a不是A的元素，則稱a不是A的元素，則稱a不屬於A，就作a
A。
描述集合的兩種方法：
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用溫氏(Venn)圖用圖在直觀表示集合。
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列舉法：將集合中的元素一一列舉出來。A={2, 3, 5, 7, ....}
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描述法來刻劃集合中元素的性質，一般形式可以寫成{ x | P(x) }，解作由所有滿足條件P的元素x所組成的集合。條件P可以是複合的。
例自然數集={x | x是整數，x≧0 }。
註：雖然集合論時常當作一切東西的代名詞，但從經驗所知：並不是所有東西都是集合。最簡單的就是羅素(B.Russell)在1918年的理髮師悖論：
“ 小鎮裡僅有一個理髮師，他宣稱專給那些並且只給那些
自己不為自己理髮的人理髮。那麼誰給這位理髮師理髮？”
集合論的悖論例子：
設C是由所有集合所組成的總體。
定義一個(集合)A={ x為C中的元素 | xx
}。
(不要理會怎樣滿足條件xx
的集合)
仔細研究以下的兩個問題：
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AA？ 答案：不成立。
(反證法)：如果AA成立，則由A(作為元素來看)滿足定義集合A的條件，即AA。這是矛盾。
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AA？ 答案：不成立。
(反證法)：如果AA成立，則由於A不滿足定義的條件，所以AA成立。但這和假設矛盾。
註：任意兩個集合A、B，由檢查元素後，必定可以知道A=B或A≠B。
以上的悖論，是非常嚴重。因為集合將會是數學的基石，如果這種理論有一些東西有問題，那麼所謂“嚴格的證明”也可能是沒意思。
另外一個例子：考慮以下的正整數：
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第10,000個素數；
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數987654321的平方；
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比π10大的最小整數。
它們有幾個共通點：用不超過一百個印刷符號就可以明確定義。
印刷符號只有有限個。用不超過一百印刷的號能定義的正整數也只有有限個。
下面定義一個正整數A：
“A是用以不超過一百印刷符號不能定義的最小正整數。”
但上面定義的這個正整數 A 恰好是用不超過一百個印刷符號能定義的！
(注意：以上的定義只用了24個符號)
問題在於上面所用的語言中，“能定義”一詞是不精確的。
ZF ( E.Zermelo-A.A.Fraenkel )公理系統是用形式語言來表達的形式系統。所用的形式語言不同於自然語言，是一種人工語言，具有精確、不含混的特點。
ZF系統的語言有以下符號：
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五個邏輯連接詞：
(否定詞)、
(析取詞)、
(合取詞)、→(蘊涵詞)、
(等價詞)；
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兩個量詞：
(全稱量詞)、
(存在量詞)；
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兩個關係詞：=(等詞)、(屬詞)；
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可數個變元：x, y, z, ....(可帶下標)；
-
左括號(、右括號)。
以上的符號中若干有限個符號按一定的規則形成的符號串叫作公式，規則有兩條：
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xy、x=y是公式，叫做原子公式，其中x、y可以換成其他變元；
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若φ、ψ是公式，則(φ)、(φ)(ψ)、(φ)(ψ)、(φ)→(ψ)、(φ)(ψ)、x(φ)、x(φ)都是公式，叫做更詞層之的公式，其中x可換成其他變元。
形式系統的命題和推理都是用這種語言表達的，對這種形式詞言可作多種解釋。
但的們心目中的解釋是：
| 變元 |
集合； |
|
|
是...的元素； |
| = |
等於、相等； |
|
|
否定； |
|
(可兼)或； |
|
|
與 |
| → |
如果....，那麼... |
|
|
當且僅當； |
| x |
對每個集x...... |
|
x |
存在集合x .... |
一個公式就可解釋為某個關於集的命題，或者相反地，把關於集合的命題翻譯成公式。例如
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公式：x( (xA)(xB)
) 表示
命題：“對於任意集合x，x是A的元素當且僅當x是B的元素”；
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公式：xy((yx))
表示
命題：“存在著沒有任何成員的集”；
-
命題：“存在把一切集作為自已成員的集”(不論其真假)可翻譯成
公式：xy(yx)。
-
命題：“存在著以集A和B為僅有元素的集”可翻譯成
公式：xy(
(yx)(
(y=A)(y=B) )。
註：
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在不引起混淆時，可省去公式中的一些括號。
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公式(x=y)、(xy)常被分別寫為x≠y與xy。
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為方便，常在公式中引進一些縮寫。例如常把
公式：x(xaφ(x)
)、x(xa→φ(x)
)分別縮寫為
xaφ(x)
、xaφ(x)。
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把公式x (φ(x)y(φ(y)→y=x
) )縮寫為!x φ(x)。
公式的意思是：“唯一存在具有性質φ的x”。
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有時甚至還在公式中夾進一些普通的語言(必要時可以消去)。
這樣做可做公式的意義更容易理解，不這樣做，公式就會寫的很多，難以閱讀。
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集合公理，可以用邏輯或集合論中的記號來說明公理的內容。
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外延公理：x
( xA
xB )
A=B。
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內涵公理：SYx
( xY
xSφ(x)
)，
其中φ(x)是任一不含有變元 y 的公式。
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無序對公理：abS
( aS
bS )。
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併集公理：Sxy(
xyya→
xS )。
對已知集合a，存在著集合s，凡是a的元素的元素都是s的成員。
記s=∪a。時常記A∪B=∪{ A , B } 及A1∪A2∪ ....∪An={A1,
A2, ...., An}。
例：∪{ {a , b}, {c} }={a , b , c}。∪{a}=a。
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冪集公理：sx
( x
a→ xs
)。
註：以上的公理只是堂上所講過的集合公理，其實有更多和重要的公理：
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無限公理：s
( 0sxs
( x∪{x}s) )。
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替換公理：設集合a和公式φ(x, y)具有性質xa!y
φ(x, y)，
則 sxays
φ(x, y)。
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選擇公理：對於任意集合c，存在以c為定義域的選擇函數，使得對於c的每個非空元素x，g(x)x。
集合的相等：設A、B為集合，如何判別它們是否相等？這是非常重要的基本概念。
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集合A、B相等，符號上記為A=B。就是要檢查 xA
xB。
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由此定義符號：AB理解xA
→xB。
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A=B 可以理解為AB、BA。
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其實集合論主要是研究“屬於”的性質。所有的要討論的東西都是“集合”，即使元素也是集合。
例子：
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A={ x | x=3a +5b，其中a、b為整數}，B={ y | y=7m +10n，其中m、n為整數}。
表面上，A、B的描述方式是不相同，當事實上集合A=B。
證：分兩步討論：
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AB：設xA，則x=3a+5b=7(-a-5b)+10(a+4b)。
由於(-a-5b)、10(a+4b)為整數，所以xB。
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BA：設yB，則y=7m+10n=3(-m)+5(2m+2n)。
由於-m、(2m+2n)為整數，所以yA。
以上已證明：在(i) xA→xB；在(ii)中yB→yA。
根據外延公理，所以有A=B。
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試證明：
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A∩A=A；
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A∩=；
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A∩B=A∩B；
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若AB，則A∩B=A；
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(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
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試證明：
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A∪A=A；
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A∪=A；
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A∪B=A∪B；
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若AB，則A∪B=B；
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(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
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試證明：
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A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，(交對併的分律)；
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A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，(并對交的分配律)；
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A∩(A∪B)=A，(吸收律)；
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A∩(B∪B)=B，(吸收律)。