滿足以下五條公理的集合N稱為自然數集

1. 0N；
2. 若xN，則x有且僅有一個後繼x'N；
3. 對任一個xN，皆有x'≠0；
4. 對任意x、yN，若x≠y，則x'≠y'；
5. (歸納公理)設MN，若0M，且每當xM時也有x'M，則M=N。

• 定理：對任意的自然數x，有x'≠x。
• 定理：若x≠0，則存在唯一的自然數y使得y'=x。
• 定義(加法)：存在唯一的二元運算(規定) +：NxN→N滿足以下的性質：
  對任意的自然數x、y，有
1. x+0=x；
2. x+y'=(x+y)'。

註：以上的定義是遞歸定義，對初學的學生可能很默生，但如果明白自然數集中的數學歸納公理，這便是歸納公理的用處。回憶小學老師教加法的計算：用兩組手指合拼起來，然後順序地數，直到數完為止。這方法是有效，看來交換律等的性質是易見，但仔細地想一想，順序數的方法有很多種，為何按照不相同次序來數的方法所得到的和仍是相同？想一想：這已經涉及非常多次的交換、結合律。
• 定理：對任意的自然數x、y，有
• 0+y=y；
• x'+y=(x+y)'。
• 定理：(加法交換律)對任意的自然數x、y，有x+y=y+x。
• 定理：(加法結合律)對任意的自然數x、y、z，有(x+y)+z=x+(y+z)。
• 定理：(消去律)若自然數x、y、z滿足x+y=x+z，則y=z。
• 定義：(自然數的乘法)：存在唯一的二元運算(規定) ．：NxN→N滿足以下的性質：對任意的自然數x、y，有
1. x．0=0；
2. x．y'=x．y+x。
• 定理：對任意的自然數x、y，有
• 0．y=y；
• x'．y=x．y+x。
• 定理：(乘法交換律)對任意的自然數x、y，有x．y=y．x。
• 定理：(乘法分配律)對任意的自然數x、y、z，有x．(y+z)=(x．y)+(x．z)。
• 定理：(乘法結合律)對任意的自然數x、y、z，有(x．y)．z=x．(y．z)。
• 定義：(自然數的序)設x、y為自然數，稱x小於或等於y(或說x大於或等於y)，

記為x≦y (x≧y)，如果存在自然數u，使得x+u=y (x=y+u)。
稱稱x小於y(或說x小於y)，
記為x<y (x>y)，如果x≦y 且x≠y(x≧y且x≠y)。
• 定理：(反自反性) 對任意的自然數x，x<x不能成立。
• 定理：(可傳性)定理：若x<y且y<z，則x<z。
• 定理：(可比性)定理：x≦y與y≦x二者必居其一。
• 定理：(三分律)定理：x<y、x=y、y<x三者必居其一。
• 定理：若x<y，則x'≦y。
• 定理：(自然數的良序)設L為自然數集合N的一個非空子集，則L必有最小數。
• 定理：(強歸納或第二數學歸納法)設關於自然數的命題P(n)滿足以下兩個條件：
1. P(0)成立；
2. 若命題P(k)對所有小於m的自然數k皆成立，則P(m)也成立。

• 雖然我們沒有給出以上的結果或定理的任何證明，但它們在數學的證明中時常用到。
• 所以自然數的性質對學習數學非常重要。