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一階邏輯就是研究簡單命題,分析出其中的個體詞、謂詞、量詞等,研究它例的形式結構及邏輯關係,怒結出正確的推理形或和規則。
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在一階邏輯中,簡單命題被分解成個體詞和謂詞兩部份,所謂個體是指可以獨立存在的客體,它可以是一個具體的事物,也可以是一個抽象的概念。例如,李明、玫瑰花、黑板、自然數,√2、思想,定理等都為個體詞。而謂詞是用來刻劃個體詞的性質或個體詞之間的詞,在下面簡單命題中:
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√2是無理數;
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王宏是程序員;
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小李比小趙高2厘米。
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“√2”、“王宏”、“小李”、“小趙”都是個體詞。
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“....是無理數”、“....是程序員”、“...比...高2厘米”都是謂詞。
前二個謂詞是表示個體性質的,而後一個謂詞是表示體詞之間關係的。
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稱表示具體的、或特定的個體的詞為個體常項。常用小寫的英文字母a、b、c...表示。
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稱表示抽象的、或泛指的個體的詞為個體變項。常用小寫的英文字母x、y、z...表示。
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個體變項的取值範圍稱為個體域(或論域)。
個體域可以是有限事物的集合,例如{1, 2, 3, 4}、{a, b, c}、{計算機, 2,
獅子};
也可以是無限事物的集合,例如自然數集合、實數集合等。
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稱表示具體性質或關係的謂詞為謂詞常項。
用大寫英文字母F、G、H、....表示。例如用F表示“....是無理數”
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表示抽象的或泛指的謂詞稱為“謂詞變項”。
也用大寫英文字母F、G、H、....表示。
個體變項x具有性質F,記F(x)。個體變量x、y具有關係L,記作L(x, y)。
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下文中常稱這種個體變項和謂詞的聯合體F(x)、L(x, y)等為謂詞。見以下例子:
F(x)表示“x是無理數”;
L(x, y)表示“x比y高2厘米”
a表示√2、b表示小李、c表示小趙。則
F(a)表示“√2是無理數”;L(b, c)表示“小李比小趙高2厘米”。
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在謂詞中所包含的個體詞數稱為元數,含n (n≧1)個個體詞的謂詞稱為n元謂詞。
一元謂詞表示個數詞性質的;n(n≧2)元謂詞是表示個體詞之間關係的。
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一般說來,用P(x1, x2, ...., xn)表示n元謂詞,它是以個體變項的個體域為定義域,以{0,
1}為值域的n元函數。
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謂詞P(x1, x2, ...., xn)不是命題。它的真值無法確定,要想使它成為命題,必須指定某一個謂詞常項代替P,同時還要用n個個體常項代替n個個體變項,
例如:L(x, y)是一個2元謂詞,它不是命題。
當令L(x, y)表示“x小於y”之後,該謂詞中的謂詞部已為常項,但它還示是命題。
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當取a為2,d為3時,L(a, b)才是命題,並且是真命題。
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當取a為2,d為1時,L(c, d)是假命題。
上述的L(a, b)、L(c, d)等都是0元謂詞。0元謂詞都是命題,命題邏輯中都可以用0元謂詞表示。因而可將命題看成謂詞的特殊情況。
除了個體詞和謂詞外,還有表示數量的詞,稱為量詞。有兩種量詞:
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全稱量詞:代表日常用語“一切”、“所有”、“任意的”的意思。用符號表示。x表示對個體域裡的所有個體;xF(x)表示個體域中的所有個體全具有性質F。
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存在量詞:代表日常用語“存在著”、“有一個”、“至少有一個”,用符號表示。x表示存在個體域裡的個體;xF(x)表示存在個體域中的個體具有性質F。
命題邏輯中的聯結詞在一階邏輯中均可應用。
例一:將下列命題用0元謂詞符號化:
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2是素數且是偶數;
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如果2大於3,則2大於4;
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如果張明比李民高,李民比趙亮高,則張明比趙亮高。
解:
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記F(x):x是素數;G(x):x是偶數;a:2。則命題符號化為F(a)G(a)。
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記L(x, y) :x大於y。記a、b、c、d分別為2、3、4。
則命題符號化為L(a, b)→L(c, d)。
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記H(x, y):x比y高。記a、b、c分別為張明、李民、趙亮。
則命題符號化為H(a, b)H(b,
c)→H(a, c)。
例二:在一階邏輯中,符號化以下:
考慮個體域D為人類集合。
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所有的人都要死;
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有的人活百歲以上。