集合論問題一、二:
邏輯問題一:
  1. 試用真值表證明:
    1. P(PQ)P;
    2. P(PQ)P。
  2. 設P、Q為命題,用真值表證明:
    1. PQ→P;
    2. P→PQ;
    3. 德摩根(De Morgan)公式:(PQ)(P)(Q);
    4. 德摩根(De Morgan)公式:(PQ)(P)(Q)。
  3. 試求以下命題的否定
    1. p(x ) Fx;

    2. 答案:p(x ) Fx。
    3. x(FxGx);

    4. 答案:x( FxGx)。
    5. (x)(DxA x)(x)(DxP x);

    6. 答案:(x)(DxA x)(x)(DxP x);
    7. (x ) (FxGx);

    8. 答案:否定式為:(x ) (FxGx)(GxFx) )。
      原式為:(x ) (FxGx)(GxFx) )。
    9. (x)(Fx(y)(Gy→ R(x, y) );

    10. 答案:否定式為(x)(Fx(y)(Gy R(x, y) );
      原式為(x)(Fx(y)(Gy R(x, y) );
    11. (x ) Fx→(x )Gx;

    12. 答案:[(x ) Fx][(x )Gx]。
    13. (x )( FxGx);

    14. 答案:(x )( FxGx )或(x )( Fx→Gx )。
    15. (x)(y)(SxSy(x+y≠x×y) );

    16. 答案:(x)(y)(SxSy→(x+y=x×y) )。
    17. 三段式:(x)( Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)→(x)( Fx→Hx);

    18. 答案:(x)( Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)(x)( FxHx)。
  4. 求以下公式的否定展開式:
    1. (x)(Fx→Gx)→((x)Fx→(x)Gx));

    2. 原式:(x)(Fx→Gx)→((x)Fx→(x)Gx));
    3. (x)(FxGx)→(x)Fx(x)Gx);
    4. (x)(FxGx)→(x)Fx(x)Gx);
    5. (x)(FxG x)→(x)Fx(x)Gx;
    6. (x)(Fx→FxGx);
    7. (x)(y)R(x, y)→(x)R(x, x);
    8. (x)(y)R(x, y)→(x)R(x, x);(FxG x)→(x)Fx(x)Gx;
    9. (x)(pFx)→p(x)Fx;
    10. (x)(FxG x)→(x)(GxFx);
    11. (x)(Fx→Gx)→(x)(Gx→Fx)。
公式一
  1. 試用真值表證明以下公式是等價的:
    1. (i) P→Q;(ii)Q→P;(iii)PQ。
    2. (i) PQ;(ii)(Q→P)(P→Q);

    3. (iii)(PQ)(QP)。
  2. 試用真值表證明以下公式是等價的:
    1. 子公式一
否定的例子:
  1. 原句:有一些功課Dx所有學生(Sy)都不做。

  2. 否定句:所有功課都有學生做。|
  3. 原句:有些大學生(Dx)體育好(Tx)和學習好(Xx)。(x)(DxTxXx)

  4. 否定句:任一學生式體育不好式學習不好。
    x(DxTxXx);或者等價地可表為:
    x(Dx→TxXx);其意思是說:
    “任一大學生,或體育不好或學習不好”。
  5. 原句:任一大學生如果不刻苦(Kx)則學習原好且體育不好。

  6. x(DxKx→XxXx);
    否定句:有一大學生不刻苦但學習好或身體好。
    x(DxKx(XxTx))。
  7. (x)(y)(SxSy(x+y≠x×y) ),解作:至少有兩數相加不等於相乘。

  8. 答案:(x)(y)(SxSy→(x+y=x×y) ),解作:任找兩數相加等於相乘。
    對於實數集合,前者為一真命題,而後者為假命題。
  9. 三段式:(x)( Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)→(x)( Fx→Hx);

  10. 答案:(x)( Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)(x)( FxHx)。
謂詞習題(習題二十三)
  1. 以下公式是否是謂詞等合式公式?
    1. (x)(FxGx)
    2. (x)R(x, y)F
    3. Fx→R(x, y)
    4. (x)(y)(FxGy)
    5. (x)(Fx(y)(GyR(x,y) )
    6. (x)(Fx(y)(GyR(x,y) )
    7. TxGyTw(x)Fx
    8. (x)(y)(TxWx)
  2. 指出下列公式中量詞等豁域,指明哪些個體變項是約束出現,哪些是自由出現。
    1. (x)(Px→(y)(R(x, y)Qy) )
    2. (x)(R(x, y)Gy)(x)Fx
    3. (x)(y)R(x, y)→(y)(R(z, y)
    4. (x)(y)R(x, y)(v)R(v, y, x)
    5. R(x, y)→R(x, y)(y)Gy
    6. (x)(Fx→Gx)→(Fy→Gy)
    7. (x)(y)A(y, x, z)→(z)A(y, x, z)
    8. (x)Fx(x)R(x, y)→Fy(y)R(x, y)
例子:用F表示“是發展的” 例子:個體變項便是所規定的個體域的個體。例如“所有人是有理性的”,當規定個體域是人時,它的符號式便是