集合論問題一、二:
邏輯問題一:
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試用真值表證明:
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P(PQ)P;
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P(PQ)P。
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設P、Q為命題,用真值表證明:
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PQ→P;
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P→PQ;
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德摩根(De Morgan)公式:(PQ)(P)(Q);
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德摩根(De Morgan)公式:(PQ)(P)(Q)。
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試求以下命題的否定
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p(x
) Fx;
答案:p(x
) Fx。
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x(FxGx);
答案:x( FxGx)。
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(x)(DxA
x)(x)(DxP
x);
答案:(x)(DxA
x)(x)(DxP
x);
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(x ) (FxGx);
答案:否定式為:(x
) (FxGx)(GxFx)
)。
原式為:(x
) (FxGx)(GxFx)
)。
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(x)(Fx(y)(Gy→
R(x, y) );
答案:否定式為(x)(Fx(y)(Gy R(x,
y) );
原式為(x)(Fx(y)(Gy R(x,
y) );
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(x ) Fx→(x
)Gx;
答案:[(x
) Fx][(x
)Gx]。
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(x )( FxGx);
答案:(x )( FxGx
)或(x )( Fx→Gx
)。
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(x)(y)(SxSy(x+y≠x×y)
);
答案:(x)(y)(SxSy→(x+y=x×y)
)。
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三段式:(x)( Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)→(x)(
Fx→Hx);
答案:(x)(
Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)(x)(
FxHx)。
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求以下公式的否定展開式:
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(x)(Fx→Gx)→((x)Fx→(x)Gx));
原式:(x)(Fx→Gx)→((x)Fx→(x)Gx));
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(x)(FxGx)→(x)Fx(x)Gx);
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(x)(FxGx)→(x)Fx(x)Gx);
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(x)(FxG
x)→(x)Fx(x)Gx;
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(x)(Fx→FxGx);
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(x)(y)R(x,
y)→(x)R(x, x);
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(x)(y)R(x,
y)→(x)R(x, x);(FxG
x)→(x)Fx(x)Gx;
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(x)(pFx)→p(x)Fx;
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(x)(FxG
x)→(x)(GxFx);
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(x)(Fx→Gx)→(x)(Gx→Fx)。
公式一
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試用真值表證明以下公式是等價的:
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(i) P→Q;(ii)Q→P;(iii)PQ。
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(i) PQ;(ii)(Q→P)(P→Q);
(iii)(PQ)(QP)。
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試用真值表證明以下公式是等價的:
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子公式一
否定的例子:
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原句:有一些功課Dx所有學生(Sy)都不做。
否定句:所有功課都有學生做。|
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原句:有些大學生(Dx)體育好(Tx)和學習好(Xx)。(x)(DxTxXx)
否定句:任一學生式體育不好式學習不好。
x(DxTxXx);或者等價地可表為:
x(Dx→TxXx);其意思是說:
“任一大學生,或體育不好或學習不好”。
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原句:任一大學生如果不刻苦(Kx)則學習原好且體育不好。
x(DxKx→XxXx);
否定句:有一大學生不刻苦但學習好或身體好。
x(DxKx(XxTx))。
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(x)(y)(SxSy(x+y≠x×y)
),解作:至少有兩數相加不等於相乘。
答案:(x)(y)(SxSy→(x+y=x×y)
),解作:任找兩數相加等於相乘。
對於實數集合,前者為一真命題,而後者為假命題。
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三段式:(x)( Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)→(x)(
Fx→Hx);
答案:(x)(
Fx→Gx)(x)(Gx→Hx)(x)(
FxHx)。
謂詞習題(習題二十三)
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以下公式是否是謂詞等合式公式?
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(x)(FxGx)
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(x)R(x, y)F
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Fx→R(x, y)
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(x)(y)(FxGy)
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(x)(Fx(y)(GyR(x,y)
)
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(x)(Fx(y)(GyR(x,y)
)
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TxGyTw(x)Fx
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(x)(y)(TxWx)
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指出下列公式中量詞等豁域,指明哪些個體變項是約束出現,哪些是自由出現。
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(x)(Px→(y)(R(x,
y)Qy) )
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(x)(R(x, y)Gy)(x)Fx
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(x)(y)R(x,
y)→(y)(R(z, y)
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(x)(y)R(x,
y)(v)R(v,
y, x)
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R(x, y)→R(x, y)(y)Gy
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(x)(Fx→Gx)→(Fy→Gy)
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(x)(y)A(y,
x, z)→(z)A(y,
x, z)
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(x)Fx(x)R(x,
y)→Fy(y)R(x,
y)
例子:用F表示“是發展的”
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所有事物是發展的。 (x)Fx
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所有事物不是發展的。(x)Fx
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有事物是發展的。 (x)Fx
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有事物不是發展的。 (x)Fx
例子:個體變項便是所規定的個體域的個體。例如“所有人是有理性的”,當規定個體域是人時,它的符號式便是
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(x)是有理性的x;
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用L表示謂詞“是有理性的”,命題的符號式化為(x)Lx。