1. 若數列 {a_k|k=1, 2,...}滿足：對於任意的正整數n=1,2,...，有a₁³+ a₂³+...+a_n³=(a₁+ a₂+...+a_n)²。 求証：數列中各項全是整數。求證：數列{a_k}中各項皆是整數。
   　
2. 已知數列{a_k|k=1, 2,...}滿足：a₁=1、a₂=3、a₃=6，且當n≧4時，a_n=3a_n-1-a_n-2-2a_n-3。
1. 求證：對於n≧2時，有a_n≧2a_n-1；
2. 問等號何時成立？請給出理由。
   　
3. 求證：對於任意的正整數n，n⁵/5+n⁴/2+n³/3-n/30都是整數。
   　
4. 在不超過91的正整數中任取10個數，証明：這10個數中一定有兩個數的比值在閉區間[2/3, 3/2]中。
   　
5. 在閉區間[1,1000]任取11個不同的數，證明：可在這11個數找出兩個數x、y使得

0<x-y< 1+ (xy)^1/3。提示：取立方根。
　
6. 某個旅行團根據下列約束條件，從A、B、C、D、E五個地方選定參觀地點。
1. 如果去A地，則也必須去B地；
2. D、E兩地至少去一地；
3. B、C兩地只去一地；
4. C、D兩地都去或都不去；
5. 如果去E地，則A、D兩地也必須去。
問：這旅行團會到哪地點參觀？請給出你的理由。
　
7. 如下圖直線截邊長為a的正三角形 ABC 使得截出的兩部份面積相等。如何截取，使截口線段PQ最短？請證明你的答案是最優。
   
   　
8. 在半徑為2的圓內能否放進8個不重疊且邊長為1的正方形？如果可能的話，請給出放置的方法，並証明你的方法是可行。
   　
9. 有51塊長方形板，每塊的長是不大于100的正整數，且寬也是不大于100的正整數(允許正方形)。証明這些長方形板中可以找出兩塊，其中的一塊可以完全覆蓋另一塊。

提示：每塊大小為axb的板(b>a)，定義d=b-a，試考慮d的個數和大小。
　
10. 某信封上的兩個郵政編碼M和N均由0, 1, 2, 3, 5,6這六個不同的數字組成。現有四個編碼如下：

A：	3	2	0	6	5	1
B：	1	0	5	2	6	3
C：	6	1	2	3	0	5
D：	3	1	6	2	5	0

已知編碼A、B、C各恰有兩個數字的位置與M和N相同，D恰有三個數字的位置與M和N相同。
試求M和N，並給出所需的理由和原因。答案：M=610253、N=310265。
　
11. 設正數a₁、a₂、...、a₈滿足a₁+a₂+...+a₈=20，a₁a₂...a₈=4。證明：其中至少有個小於1。
    　
12. 設x為任意的實數，Q>1為任意的正整數。求證：存在整數p、q滿足
• 1≦q<Q；
• |x-p/q|≦1/(Qq)。
提示：
• 試考慮Q+1個實數：0、{x}、{2x}、...、{(Q-1)x}、1，其中{y}代表y的小數部份。
• 然後把單位區間[0,1]分為Q個長度相等的子區間：
  [ 0/Q,1/Q )、[ 1/Q,2/Q )、...、[ (Q-2)/Q,(Q-1)/Q )、[ (Q-1)/Q, 1 ]。